RENCONTRE 2018 DU GDR DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE PROGRAMME SCIENTIFIQUE - TUESDAY 23 OCTOBER 2018 - FRIDAY 26 OCTOBER 2018 - INDICO
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Rencontre 2018 du GdR de Topologie
Algébrique
Tuesday 23 October 2018 - Friday 26 October 2018
Programme scientifique
Rencontre 2018 du GdR de Topologie Algébrique / Programme scientifique Sunday 11 November 2018Rencontre 2018 du GdR de Topologie Algébrique / Programme scientifique Sunday 11 November 2018
Topologie Algébrique et Applications
Rencontre annuelle du GdR 2875
23-26 Octobre 2018 - Université de Montpellier
Programme Scientifique
Cours de Karen Vogtmann
**Automorphism groups of free groups and Outer space**
In this minicourse I will describe moduli spaces of graphs and explain how they can be used to
study the cohomology of automorphism groups of free groups. Topics may include homological
stability, the construction of nontrivial cycles, the relationship with the cohomology of certain Lie
algebras of derivations and the structure at infinity of the spaces.
Adrien Brochier
**Quantum groups, topological field theories and skein theory**
We will explain how to construct a certain 3 dimensional TFT from the representation theory of
quantum groups for arbitrary value of the quantum parameter. It attaches categories to surfaces,
which are canonical deformations of the category of sheaves on character varieties, which unifies a
variety of well-known constructions in quantum algebra. Those categories carry actions of mapping
class groups, and can be used to produce invariants for links in thickened surfaces. To a closed 3
manifold it attaches the corresponding skein module. One obtains this way a link invariant valued in
the representation theory of Cherednik's famed spherical double affine Hecke algebra. This is
based on joint works with D. Ben-Zvi, D. Jordan, and N. Snyder.
Bérénice Delcroix-Oger
**Homology of the hypertree poset**
In 2001, Brady, McCammond, Meier and Miller computed the l²-cohomology of the group of pure
symmetric automorphisms of a free group, also known as the group of motions of the trivial
n-component link in the 3-dimensional sphere. Their computation relies on the computation of the
Möbius function of posets of hypertrees. After recalling this historical context, I will present further
results on the computation of the homology of the hypertree poset, and the related action of the
symmetric group, which is also deeply linked with the pre-Lie operad.
Eric Finster
**The Cotopological Tower**
Let E be an oo-topos and F a subtopos given by a left exact localization **L : E --> F**. We show`
that in this situation, there is a canoncial tower of subtopoi
**E --> F_\infty --> ... --> F_n --> ... --> F_0 = F**
When the localization **L** is topological, the above tower is constant. On the other hand, we show
that when **E** is the topos of presheaves on the oo-category of finite pointed spaces, **F** is the
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topos of spaces and **L** evaluation at the terminal object, the above construction recovers the
Goodwillie tower of the identity. We interpret **F_\infty** as a kind of formal completetion of **E**
along **L**. Time permitting we will show how the same construction recovers Weiss's orthogonal
calculus.
Jean-Baptiste Meilhan
**On links and surfaces up to link homotopy**
Milnor introduced in the 50’s a family of link invariants, extracted from the peripheral system, which
are invariant under “link homotopy”, i.e. under continuous deformations where distinct components
remain disjoint. A full link homotopy classification of links was achieved only 40 years later by
Habegger and Lin, using a refinement of Milnor invariants for “string links”. The situation is very
different in higher dimension: any embedding of a disjoint union of 2–spheres in 4–space is link
homotopic to the trivial one. In this talk, we consider higher order analogues of string links, and give
a classification up to link homotopy using a 4–dimensional version of Milnor invariants. We then
turn back to the link case, and give a 4-dimensional interpretation of Milnor’s original invariant.
Based on joint works with B. Audoux and E. Wagner.
Angélica Osorno
**Categorical Models for Stable Homotopy Types**
The Homotopy Hypothesis asserts that topological n-types and n-groupoids have equivalent
homotopy categories. We consider the stable analog of this hypothesis, comparing stable n-types
and group-like symmetric monoidal n-groupoids. In this talk we will concentrate on the cases n=1
and 2. In particular, we will establish the hypothesis in both cases, and outline some aspects of the
proof for n=2. We will also indicate how to transfer homotopical information between the topological
and categorical contexts. This is based on joint work with Nick Gurski and Niles Johnson.
Markus Szymik
**Symmetry groups of algebraic structures and their homology**
The symmetric groups, the general linear groups, and the automorphism groups of free groups are
examples of families of groups that arise as symmetry groups of algebraic structures but that are
also dear to topologists. There are many other less obvious examples of interest. For instance, in
joint work with Nathalie Wahl, this point of view has led to the computation of the homology of the
Higman-Thompson groups. I will survey a general context and some more geometric examples in
this talk.
Antoine Touzé
**Décompositions de Steinberg dans le cadre fonctoriel**
Les théorèmes de décomposition de Steinberg sont d'importance fondamentale en théorie
représentations des groupes algébriques ou des groupes finis de type Lie. Dans cet exposé, nous
présenterons des théorèmes similaires dans le cadre des catégories de foncteurs (liées par
exemple avec les modules instables sur l'algèbre de Steenrod, ou l'homologie des groupes
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discrets). En termes des représentations des groupes, on obtient une nouvelle démonstration des
théorèmes de Steinberg classiques et des généralisations sur des anneaux finis plus généraux.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Djament et C. Vespa
Marco Armenta
**Derived invariance of operations in Hochschild theory**
The Hochschild (co)homology theory for associative algebras projective over a commutative ring k
have a rich structure. Namely, the cup and the cap products, the Gerstenhaber bracket and Connes
differential, this is summarized as differential calculus or Tamarkin-Tsygan calculus. There are
interesting connections of this theory with derived categories: for instance, D. Happel proved the
derived invariance of the cup product. Later on, B. Keller showed the derived invariance of the
Gerstenhaber bracket.
First I will extend the derived invariance of the cup product to allow coefficients in an arbitrary
bimodule. Then I will present two proofs of the derived invariance of the cap product, one of them is
a joint work with B. Keller. They will be part of my thesis, prepared under the direction of C. Cibils
(IMAG UM Montpellier) and J.A. de la Pena (CIMAT México).
As a main tool, I will provide interpretations of these operations merely in terms of derived
categories, through a canonical morphism between the Hochschild homology and the k-dual of
Hochschild cohomology with coefficients in the k-dual of the algebra. Finally I will present related
results concerning the Batalin-Vilkovisky structure on Hochschild cohomology.
Rachael Boyd
**Homological Stability for Artin monoids, and a generalisation**
Many sequences of groups satisfy a phenomenon known as homological stability. In my talk, I will
report on recent work proving a homological stability result for sequences of Artin monoids, which
are monoids related to Artin and Coxeter groups. From this, one can conclude homological stability
for the corresponding sequences of Artin groups, assuming a well-known conjecture in geometric
group theory called the *K(π,1)*-conjecture. This extends the known cases of homological stability
for the braid groups and other classical examples.
Joint work with Luigi Caputi generalises these results to a homology stability result for a larger class
of monoids - of which Garside and complex braid groups provide interesting examples.
Sylvain Douteau
**Homotopie des espaces stratifiés**
Les espaces stratifiés apparaissent naturellement dans de nombreux domaines. Leur étude repose
sur des invariants, tels que la cohomologie d'intersection, qui ne sont pas préservés par les
équivalences d'homotopie, mais seulement par les équivalences d'homotopie stratifiés.
En travaillant avec des ensembles simpliciaux, la notion d'équivalence d'homotopie stratifiée
permet d'aboutir à une catégorie de modèle vérifiant de bonnes propriétés (Simpliciale,
engendrement cofibrant...)
Dans un second temps, il est possible de déduire des résultats sur les espaces topologiques
stratifiés à partir de cette catégorie de modèle. En particulier, on obtient un analogue stratifié du
théorème de Whitehead, où les équivalences d'homotopie stratifiées sont caractérisées par des
isomorphismes entre groupes d'homotopie stratifiés.
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Matthieu Faitg
**Représentations projectives de mapping class group en quantification combinatoire**
Soit *S_{g,n}* une surface compacte orientée, de genre *g* avec *n* points marqués.
Les algèbres de graphes *L*_{g,n}(H)* ont été introduites et étudiées à partir de 1995 par
Alekseev-Grosse-Schomerus et Buffenoir-Roche dans le contexte de la quantification
combinatoire, sous l'hypothèse que l'algèbre de jauge *H* (une algèbre de Hopf) est semi-simple.
De plus, Alekseev et Schomerus ont construit des représentations projectives du mapping class
group de *S_{g,n}* à partir de *L_{g,n}(H)*.
Dans cet exposé on ne suppose pas que *H* est semi-simple, l'exemple phare étant le groupe
quantique restreint de *sl(2)*. Après avoir donné la définition et les principales propriétés des
*L_g,n(H)*, je présenterai les représentations projectives de mapping class group obtenues dans
ce cadre. Nous nous intéresserons surtout au cas du tore, les surfaces de genre supérieur étant
l'objet d'un travail en cours.
Brice le Grignou
**Théorie homotopique des cogèbres linéaires**
Les cogèbres apparaissent dans plusieurs branches des mathématiques notamment en topologie
algébrique ou en géométrie formelle. Cependant, souvent, on les dualise de sorte à travailler avec
des algèbres, plus simples à manipuler. Le but de cet exposé est de présenter des outils pour
travailler directement avec différents types de cogèbres différentielles graduées : les cogèbres
coassociatives, cocommutatives, de Lie, etc. Ce sont là des exemples de cogèbres sur une
opérade. Pour comprendre l'infini-catégorie au sein de laquelle s'organisent ces objets, je définirai
la catégorie Koszul-duale des algèbres courbées sur une coopérade - où la notion de
quasi-isomorphisme n'a pas de sens - et la munirai d'une structure de modèles, Quillen équivalente
à celle des cogèbres. Cet exposé présente un travail effectué en commun avec Damien Lejay.
Maxime Lucas
**Higher dimensional rewriting: computing homotopical invariants from presentations**
Higher dimensional rewriting aims to deduce homotopical and homological properties of objects
from their presentation. Squier's Theorem for example, asserts that if a monoid admits a finite
convergent presentation, then it satisfies some homotopical and homological finiteness conditions.
Since then this result has been improved, and extended to other structures such as associative
algebras, PROs or PROPs. However, these results suffer from a number of shortcomings: although
the methods are constructive, explicit computations in higher dimensions quickly become
intractable. Additionally, a general framework unifying the results on all of these structures is still
lacking.
In this talk, we investigate a variation on these constructions. First, we embed monoids into
so-called "Gray monoids": monoid objects in strict omega-groupoids. This is analogous to seeing
associative algebras as (positively graded) dg-algebras concentrated in degree zero. Gray monoids
come equipped with a Quillen model structure inherited from that of strict omega-groupoids.
Starting from a suitable presentation of a monoid M, we show how to compute a cofibrant
replacement of M in this category. The proof has several key improvements over earlier results:
some hypotheses are dropped or relaxed, and the construction is more modular, clarifying what
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does or does not depend on the monoid structure of M.
As a consequence, we believe that this setting is a promising one to explore in order to find a
systematic treatment of higher dimensional rewriting.
Hélène Pérennou
**Structure polynomiale de K(U) et vecteurs propres du foncteur T de Lannes**
Soit U la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le
groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduits de type fini. Le
groupe K(U) est muni d’une structure d’algèbre de Hopf et ainsi C⊗K(U) est une algèbre
polynomiale.
Dans cette exposé, nous définirons une famille de générateurs polynomiaux pour C⊗K(U) en
utilisant les représentations modulaires des groupes linéaires sur le corps fini F_p. Cette famille a la
propriété d’être formée de vecteurs propres pour l’action sur K(U) du foncteur T de Lannes. De
plus, la simplicité de ces générateurs facilite les calculs et permet de répondre à certaines
conjectures concernant les séries de Poincaré des éléments de K(U).
Ceci est un travail en commun avec Nguyen Dang Ho Hai.
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